Juozas Domarkas yra vienas žymiausių lietuvių dirigentų, išpuoselėjęs pirmąjį Lietuvoje aukšto profesinio lygio simfoninį orkestrą. Nuo 1964 m. jis yra šio orkestro meno vadovas ir vyriausiasis dirigentas.
J. Domarkas studijavo dirigavimą Leningrade (dab. Sankt Peterburgas), N. Rimskio-Korsakovo konservatorijoje, 1965 m. baigė profesoriaus Iljos Musino simfoninio orkestro ir operos dirigavimo klasę. 1963 m. stažavo Maskvos P. Čaikovskio konservatorijoje garsaus prancūzųdirigento, pedagogo ir kompozitoriaus Igorio Markevičiaus meistriškumo kursuose.
Gausaus J. Domarko diriguojamo repertuaro paletė įvairi – nuo klasikų, romantikų šedevrų iki šiuolaikinės muzikos, nuo stambių simfoninių-oratorinių žanrų iki nedidelių pradedančiųjų kompozitorių opusų. Maestro dažnai kviečiamas diriguoti geriausiems Rusijos, Lenkijos, Ukrainos, Latvijos, Čekijos, Slovakijos, Vokietijos, Estijosir netgi egzotiškų kraštų – Turkijos, Venesuelos, Argentinos, Čilės orkestrams, dirigentas yra vadovavęs operų ir baletų pastatymams Lietuvos nacionaliniame operos ir baleto teatre, Klaipėdos muzikiniame teatre.
Nuo 1968 m. J. Domarkas dėsto Lietuvos muzikos ir teatro akademijoje, čia jo rūpesčiu buvo įsteigta Simfoninio dirigavimo katedra (nuo 1995 m. – katedros vedėjas ir profesorius). J. Domarkas pelnė tarptautinį pripažinimą ir kaip aukščiausio lygio dirigavimo pedagogas. Tarp jo mokinių – prestižinio Grzegorzo Fitelbergo dirigentų konkurso I premijos ir aukso medalio laimėtojas Modestas Pitrėnas, laureatas Dainius Pavilionis, talentingi jaunosios kartos dirigentai Modestas Barkauskas, Juozas Mantas Jauniškis ir kt. Maestro ir pats kviečiamas į tarptautinių G. Fitelbergo, S. Prokofjevo bei kitų dirigentų konkursų žiuri.
J. Domarkas apdovanotas Lietuvos valstybine premija (1974), Lietuvos Vyriausybės meno premija (1998), Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino ordino Karininko kryžiumi (1994) bei Didžiuoju kryžiumi (1998), Lietuvos nacionaline kultūros ir meno premija (2000), Lenkijos Respublikos Kavalieriaus kryžiaus ordinu (2006), jam įteiktas Lietuvos Respublikos kultūros ministerijos Garbės ženklas „Nešk savo šviesą ir tikėk“ (2011).